八上尖子生培优系列(32) ——《轴对称》的最值问题（2）
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已知，如图，△ABC，找点P，使PA+PB+PC最短.（注：此点称“费尔马点”）
【解析】前面已经说明：几何中的最值问题常用方法之一是通过“对称”转化为“两点之间，线段最短”与“垂线段最短”问题（其他方法涉及到九年级内容）．本题的三条线段PA、PB、PC要想将之关联，可以通过“旋转600”得到等边三角形，再利用“等边三角形的性质”和“全等三角形的性质”将三条线段关联起来.不妨将△PAB绕B点逆时针旋转600得到：
不难证得：PB＝PP’，PA＝P’A’.从而：PA+PB+PC＝P’A’+ PP’+PC.根据“两点之间线段最短”得到：当A、P’、P、C在同一直线上时（即P’、P在直线A’C上），PA+PB+PC最短.如下图示：
但此时还是无法得到点P的位置，只知点P在直线A’C上，因此还需再符合一个条件，类似地，将△PAC绕C点顺时针旋转600，连接BA’’，BA’’和CA’相交，得到交点即是所求作的P点，如下图示：
当然，本题也可这样作（属于九年级内容）：
【反思】其实，当PA+PB+PC最短时，∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝1200.
再次观察动态演示：
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